Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят, что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A – алгебра. Функция  , отображающая алгебру в множество действительных чисел

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию

Конечная мера

Мера называется конечной, если

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая, что

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

называют вероятностью события A

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.

Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.

Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т.е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F , обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях из F , вероятность которых нам легко определить, а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементе F .

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События A и B называются независимыми, если

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности, если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B называется величина

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события A и B независимы, то

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Определение вероятностного пространства

При построении математической модели мы должны найти компромисс между двумя обстоятельствами. С одной стороны, она должна быть достаточно подробной, чтобы учесть все существенные черты изучаемого явления. С другой стороны, необходимо отбросить все несущественные детали, затемняющие суть дела. Излишняя подробность затрудняет изучение свойств модели, а чрезмерное упрощение может привести к неправильным выводам относительно поведения реальной системы.

Мы начинаем изучение курса теории вероятностей с исследования свойств моделей таких случайных экспериментов, которые имеют конечное или счетное число исходов. Элементарным исходом мы будем называть такое событие, которое однозначно (с определенной точки зрения) говорит о том, чем закончился эксперимент. Это сразу же накладывает на множество элементарных исходов следующее важное ограничение: в каждом испытании происходит один и только один элементарный исход.

Чтобы понять, как должна выглядеть наша модель, рассмотрим пример. Однородный игральный кубик в одинаковых условиях подбрасывают много раз и отмечают число очков, выпавших на верхней грани. Ясно, что в этом эксперименте есть 6 элементарных исходов, которые мы обозначим(означает, что выпало к очков). Пусть- относительная частота появления исхода. Тогда эти частоты обладают следующими свойствами:

1

2

Как отмечалось выше, частоты тяготеют к некоторым числам, которые мы будем называть вероятностями этих исходов. Ясно, что они должны наследовать свойства частот. Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующему определению.

Определение 1. Дискретным вероятностным пространством называется пара, где -конечное или счетное множество, Р - вещественная функция, заданная на, такая, что

1)

2)

Множество называется пространством элементарных исходов, его элементы -элементарными исходами, а число - вероятностью появления элементарного исхода .

Пример 1. Симметричную монету подбрасывают один раз. Здесь два элементарных исхода: выпал герб - Г, выпала цифра - Ц. Таким образом,. В силу симметрии естественно положить 5

Пример 2. Однородный симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. В этом случае

Другие примеры будут приведены на практических занятиях. Важную роль играет следующий частный случай дискретного вероятностного пространства.

Определение 2 . Говорят, что мы имеем задачу на классическое определение вероятности, если-конечное множество и для всех,, т.е. все исходыравновозможны.

Обычно предположение о равновозможности исходов делается из соображений симметрии задачи. Но так ли это на самом деле (т.е. верна ли модель), можно установить только из сравнения с экспериментальными данными.

События и операции над ними

До сих пор мы рассматривали только элементарные исходы, т.е. в некотором смысле простейшие события. Но кроме них нас могут интересовать и другие, более сложные события. В примере 2 мы можем рассмотреть событие А, состоящее в том, что выпало четное число очков. В теории вероятностей о каждом событии мы хотим знать только одно: произошло оно или нет в данном испытании. Каждое испытание (т.е. однократное проведение эксперимента) заканчивается появлением одного из элементарных исходов, которые однозначно описывают то, чем закончился эксперимент. В частности, по элементарному исходу можно определить, произошло событие А или нет. Поэтому все элементарные исходы делятся на две группы: те , которые приводят к появлению события А (назовем их благоприятными этому событию), и все остальные. С точки зрения их появления в рассматриваемом эксперименте событие А и множество благоприятных для него исходов являются для нас эквивалентными. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение 3 . Случайным событием назовем произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Будем говорить, что событие произошло, если появился элементарный исход, ему принадлежащий, т.е. благоприятный.

Пример 3. Подбрасывают игральный кубик, А - выпала четная цифра. Тогда

В силу того, что каждое случайное событие отождествляется с некоторым подмножеством А пространства элементарных исходов О, различные операции над множествами позволяют определить некоторые операции над событиями. С точки зрения теории вероятностей каждое событие характеризуется только тем, когда оно происходит, а когда нет. Поэтому определения операций над событиями даются именно в этих терминах. С другой стороны, они соответствуют определенным операциям над множествами. Отсюда появляется определенная двойственность терминологии.

Определение 4 .

1) Событие называется достоверным, если оно происходит всегда, и невозможным, если оно никогда не происходит. Этим событиям соответствуют все пространствои пустое множество.

2) Объединением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий. На языке теории множеств это соответствует операции объединения множеств и обозначается как

3) Пересечением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события одновременно. Это соответствует операции пересечения множеств и обозначаетсяили

4) События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут происходить одновременно. Это соответствует непересекающимся множествам и обозначается

5) Суммой событий А и В называется их объединение в случае, когда они несовместны. Это не новая операция, а частный случай определения 2 и обозначается

6) Событиеназывается противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. На языке теории множеств это соответствует переходу к дополнению множества А.

7) Разностью двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит В. Это соответствует операции разности множеств и обозначается

8) Говорят, что событие А влечет событие В, если при появлении события А, обязательно происходит и событие В. Это означает, что множество А есть часть (подмножество) множества В и обозначается

Чтобы наглядно представлять себе операции над событиями, полезно рисовать их в виде некоторых фигур на плоскости, например кругов. Картинки такого рода называются диаграммами Венна.

Конкретные примеры событий и операций над ними будут рассмотрены далее, а также на практических занятиях. Некоторые свойства операций над событиями собраны в следующем предложении.

Предложение 1

Задача 1. Доказать предложение 1.

Во многих задачах нас интересует не все множество событий, связанных с данным экспериментом, а только некоторые из них. Но всегда нам хотелось бы, чтобы определенные выше операции над событиями не выводили нас за пределы рассматриваемого множества событий. В связи с этим полезно следующее понятие.

Определение 5 . Некоторый класс событий называется алгеброй событий, если

Задача 2. Доказать, что все определенные выше операции не выводят нас за пределы алгебры

С практической точки зрения выбор некоторой алгебры событий соответствует определенному взгляду на случайный эксперимент. Алгебра событий - это только те события, которые нас интересуют с этой точки зрения (например, те, которые доступны наблюдению).

Вероятности событий и их свойства

До сих пор мы рассматривали только вероятности элементарных исходов. Теперь мы определим вероятности событий и исследуем некоторые их свойства.

Определение 6 . Вероятностью события А называется число

(2.1)

Пример 4. Симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность события А, состоящего в том, что выпала четная цифра.

В этом случае,.

Пример 5. Пусть мы имеем задачу на классическое определение вероятности. Если, где- общее число элементарных исходов, а- число благоприятных исходов для события

А, то

Именно этот результат обычно приводят в качестве определения в элементарных учебниках по теории вероятностей.

Соберем некоторые простейшие свойства вероятностей в виде следующего предложения.

Предложение 2 . Пусть выделена некоторая алгебра событий, для которых определены вероятности по формуле (1). Тогда справедливы следующие свойства:

Доказательство. Основными являются свойства 1-3. Только здесь мы будем использовать в явном виде то, что мы работаем в рамках дискретного вероятностного пространства. Все остальные свойства будут выведены из этих трех.

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определений дискретного вероятностного пространства и вероятности события.

Докажем свойство 3. Пусть, вначале,. Тогда мы имеем два событияи. Так как они несовместны, то исходы распадаются на два непересекающихся класса: те, что принадлежат, и те, что принадлежат. В силу свойств рядов с неотрицательными членами имеем

Для произвольного доказательство проводится по индукции. Предлагается это сделать самостоятельно.

Свойство 4 очевидно следует из определения вероятности события и того, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

Событияинесовместны, и. Используя свойства 2 и 3, имеем:

Представим события А, В ив следующем виде:

Этим доказано свойство 5.

Свойства 6,7,8,9 можно доказать аналогично (сделать самостоятельно!).

Докажем свойство 10. Для упрощения доказательства введем одно новое понятие, которое будет полезным и в других вопросах.

Индикатором события А называется функция, заданная на пространстве элементарных исходовпо правилу:

Легко доказать следующие свойства индикаторов событий.

Как строгой математической дисциплины.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ), где

  Замечания

  Конечные вероятностные пространства

  Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее | Ω | = n {\displaystyle \vert \Omega \vert =n} элементов.

  В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {\displaystyle 2^{\Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }} , что объясняет обозначение.

  Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

  P (A) = n A n {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}} ,

  где A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } , и | A | = n A {\displaystyle \vert A\vert =n_{A}} - число элементарных исходов, принадлежащих A {\displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:

  P ({ ω }) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}

  Пример

  Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {\displaystyle \Gamma } ) и выпадение решки ( P {\displaystyle \mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},} и вероятность можно посчитать следующим образом:

  P ({ Γ }) = 1 2 , P ({ P }) = 1 2 , P ({ Γ , P }) = 1 , P (∅) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing)=0.}

  Таким образом определена тройка (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

  Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

  Вероятностное пространство - это тройка, где:

  • · - это множество объектов, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход, который произошел в данной реализации опыта.
  • · - это некоторая зафиксированная система подмножеств, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
  • o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
  • o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
  • o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и, тогда должно быть, . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
  • o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если, тогда должно быть и.
  • · - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число, которое называется вероятностью события. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
  • o для любого
  • o Если и - события, причем, тогда (свойство аддитивности ).
  • o Если, причем Если для любых Если, тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности ).
  

  Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

  · Если и, тогда.

  

  · Если и, тогда.

  

  · Если, и, тогда.

  Пусть - множество элементов, которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

  • · Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий.
  • · Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.
  • · Аксиома III (нормировка вероятности) . .
  • · Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то

  Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

  Система аксиом I -IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента, - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

  Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

  Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

  Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

  Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x n из принадлежат. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра, содержащая. Более того, справедлива

  Теорема (о продолжении) . Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

  Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

  События образуют полную группу , если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента и попарно несовместны.

  Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n ) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности :

  Пример 16. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

  Решение. Событие A – извлечен черный шар. Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

  Шар может быть извлечен или из первой урны (гипотеза ), или из второй (гипотеза ), или из третьей (гипотеза ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то .

  Отсюда следует, что

  Пример 17. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30 % общего количества электроламп, второй – 25 %,
  а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5 %, третьего – 2 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

  Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная. Введем обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, – лампа изготовлена первым заводом, – лампа изготовлена вторым заводом,
  – лампа изготовлена третьим заводом.

  Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

  Формула Байеса.

  Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,

  Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса .

  
  
  

  Пример 18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К , 30 % – c заболеванием L , 20 % –
  с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K .

  Решение. Введем гипотезы: – больной страдал заболеванием К L , – больной страдал заболеванием M .

  Тогда по условию задачи имеем . Введем событие А – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. По условию

  По формуле полной вероятности получаем:

  По формуле Байеса .

  
  
  Предыдущая статья: "потеря этого человека аукнется для всей страны" Всемирный день русского единения Следующая статья: Хаос и порядок: фрактальный мир