Проектная работа на тему: СИММЕТРИЯ ЧЕЛОВЕКА Подготовили: Александра Журавлева Елизавета Калинчикова 8 «И» класс Гимназия 1797 « Богородское »

1. Цели: 1.1 Рассказать о симметрии человека 2. Задачи: 2.1. Что такое симметрия 2.2 Рассмотреть симметрию в теле человека 2.3 Доказать симметрию с помощью практической работы 2.4. Сделать вывод 3. Основная часть.

Если внимательно присмотреться ко всему, что нас окружает, то можно заметить, что мы живём в довольно-таки симметричном мире. Все живые организмы в той или иной степени отвечают законам симметрии: люди, животные, многие здания и предметы – всё построено по её законам. Даже наша шарообразная планета обладает почти идеальной симметрией. Симме́три́я (др.-гр. συμμετρί α – симметрия) – сохранение свойств расположения элементов фигуры относительно центра или оси симметрии в неизменном состоянии при каких-либо преобразованиях. Слово «симметрия» знакомо нам с детства. Глядя в зеркало, мы видим симметричные половинки лица, глядя на ладошки, мы тоже видим зеркально-симметричные объекты.

Существуют следующие типы симметрии: центральная осевая (зеркальная) радиальная билатеральная двулучевая поступательная (метамерия) поступательно-вращательная Существует большое количество типов симметрии, но все они неизменно отвечают одному общему правилу: при некотором преобразовании симметричный объект неизменно совмещается сам с собой.

Сегодня мы рассмотрим симметрию у человека. Человеческое тело обладает билатеральной симметрией (внешний облик и строение скелета). Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Например - мозг. Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части – два полушария – плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого. Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону.

Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.

Ну конечно, каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Поразительный пример подобия - глазомерная оценка расстояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на местности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят открытым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир.

При визировании с помощью большого пальца вытянутой руки (один раз левым глазом, а другой - правым) палец "отскакивает" примерно на 6° И притом величина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей!. При помощи кулака вытянутой руки легко найти три основных угла. Комбинируя их, можно определять другие углы.

И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между большим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°. Конечно, здесь ошибка порой оказывается сравнительно большой, так как в зависимости от возраста и разработанности кисти большой палец может отставляться на различные расстояния. Но для первого испытания, позволяющего решить, существенно ли отклоняется измеряемый угол от прямого, такой метод вполне пригоден.

Заключение Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи. Симметрия - это и есть равенство в широком смысле этого слова. Значит, если имеет место симметрия, то чего-то не произойдет и, значит, что-то обязательно останется неизменным, сохранится.

Цель: изучить симметрию и асимметрию в теле человека. Содержание Введение Симметрия и асимметрия в теле человека Заключение

Введение Симметрия – это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. Г. Вейль μμ - συ ετριαι Симметрия («соразмерность») в биологии - закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.

Введение Симметрия характеризует:  гармоничность  пропорциональность  стройность природных тел и тела человека Понятия симметрии и красоты тождественны

Симметрия в теле человека ЧЕЛОВЕК - СУЩЕСТВО СИММЕТРИЧНОЕ «Человеческая фигура обладает почти безупречной билатеральной симметрией» М. Гарднер Билатеральная симметрия (двусторонняя симметрия) - симметрия зеркального отражения, при которой объект плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. имеет одну

Симметрия в теле человека Зеркальная симметрия в теле человека позволяет двигаться прямолинейно и с одинаковой легкостью поворачиваться вправо и влево.

Асимметрия в теле человека Асимметрия - (греч. α- - «без» и «симметрия») - отсутствие или нарушение симметрии. Именно данная симметрия придает характерные, индивидуальные черты каждому человеку. Автопортрет Альбрехта Дюрера Маленькая асимметричная деталь: прядка волос возле пробора, которая и придает картине живость и жизненность.

Асимметрия в теле человека Мозг разделён на две половины. Эти две части два полушария плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.

Асимметрия в теле человека Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга – функциональная асимметрия. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое – левое. Левое полушарие абстрактноречевые формы познания и мышления двигательная сфера -положительные эмоциями - обращено в будущее Правое полушарие - чувственная сфера - - чувственные формы познания и отрицательные эмоции мышления обращено к прошлому -

Асимметрия в теле человека Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку. Женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У них потрясающая интуиция, которая живёт в правом полушарии, но слабее пространственная функция, логика, воля самоконтроль. Среди мужчин много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария. В среднем на земном шаре примерно 3% левшей (99 млн.) и 97% правшей (3 млрд.201млн.)

Пропорции человека Строение человеческого тела Длина четырёх пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть ладоней составляют один локоть, четыре локтя рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник. Длина вытянутых рук будет равна росту. Расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста. Расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста. Расстояние же от верхней части груди до корней волос 1/7. Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста. Наибольшая ширина плеч восьмая часть роста. Расстояние от локтя до кончиков пальцев 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки 1/8. Длина всей руки это 1/10 роста. Начало гениталий находится как раз посредине тела. Стопа 1/7 часть роста. Расстояние от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста, а расстояние от коленной чашечки до начала гениталий также равно четверти роста. Расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица. Рисунок,как неявный символ внутренней симметрии человеческого тела и Вселенной в целом, находится в коллекции Gallerie dell"Accademia в Венеции.

Лицо Согласно утверждению древнегреческого скульптора Поликлета, лицо должно составлять 1/10 от длины всего тела. Лицо считается пропорциональным, если его условно можно разделить линиями по горизонтали на 4 равные части: от верхушки головы до края волосяного покрова, затем выделяется область лба, а следующая линия проводится прямо под носом.

Асимметрия внутренних органов человека Сердце у людей находится на левой стороне, печень – на правой, но на каждые 712 тыс. чел встречаются люди, у которых эти органы расположены зеркально, т.е. наоборот.

АСИММЕТРИЯ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ По результатам проведенных что исследований, только у 20% людей ноги имеют совершенно одинаковую длину. установлено, У 72% разница составляет не практически 15 мм более незаметна. и У оставшихся 8% людей одна правая, нога, длиннее второй более, чем на 15 см. преимущественно

АСИММЕТРИЯ ПОЗВОНОЧНОГО СТОЛБА Патологии: - нарушение осанки, - сколиоз, - остеохондроз.

Заключение В процессе выполнения работы нами были рассмотрены билатеральная (двусторонняя), зеркальная симметрии, физическая и функциональная асимметрия в теле человека. Изучив асимметрию в теле человека, мы узнали, что асимметрия подразделяется на природную и патологическую. Понятия симметрии и асимметрии альтернативны. Чем более симметричен организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Собственно говоря, симметрия и асимметрия взаимно исключают одна другую - как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симметрия или асимметрия рассматриваются по отношению к одному и тому же телу. В природе нет абсолютной симметрии. Истинную красоту имеет то, что гармонично соединяет в себе симметрию и асимметрию.

Литература 1. Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи, М.: «Просвещение» 2003. 2. Вейль Г. Симметрия. М.: «Едиториал УРСС», 2003. 3. Иванова О. Этот симметричный мир. Первое сентября. – 2006 № 6.

ГАПОУ «Брянский базовый медицинский колледж» «Симметрия и асимметрия в теле человека» Выполнила: студентка 3 курса специальности «Сестринское дело» Вашето Анастасия Сергеевна Руководитель: преподаватель математики Барейшис К.С. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ Брянск 2015г.

Вы заметили, что левый глаз выше правого глаза? Или наоборот? На самом деле, в этом нет ничего странного и эта асимметрия, которая в большинстве случаев заметна только для вас, совершенно нормальна для каждого человека . Тем не менее, некоторые ученые смело утверждают, что чем более симметричны две половины тела, тем здоровее и умнее мы должны быть. Во всех культурах с древних времен симметрия, являющаяся выражением гармонии, является синонимом красоты.

Пока еще не доказано, что врожденная асимметрия полностью закладывается в нас пока мы находимся в утробе матери. Однако известно, что человеческий эмбрион абсолютно симметричен до момента образования сердца. Затем идет линия диспропорции.

Асимметрия тела человека

Тело человека можно разделить на две половины – два симметричных полушария головного мозга, два глаза, две ноздри, две руки, две ноги и т.д., которые, хотя, казалось бы, быть зеркало, глядят на друг на друга, но мы находим некоторые различия. У нас есть два легких и левое разделено на три части, в то время как правое имеет два. Наше сердце – еще одна вещь, которая она не расположена симметрично в груди. В других внутренних органах также много различий. Два полушария также появляется симметричными на первый взгляд, но на самом деле отдельные части имеют различный размер и разную функцию. Другим интересным фактом является движение мышц, потому что тела являются несоразмерными.

Асимметрия в цифрах

Данные в цифрах следующие: у более чем 88% людей правая рука лучше развита. Правая нога длиннее у 81%, а около 72% из нас лучше видят на правый глаз. Более чем 60% слышат лучше на правое ухо.

Мое почтение, дамы и господа! Этой статьей мы обязаны мне Павлу, Олегу, Валентину и другой мужской части читателей проекта . Они задали свой вопрос: асимметрия мышц, что делать?- через форму обратной связи и захотели получить развернутый ответ. Что же, захотели, ну тогда получайте!

Итак, сидайте, мои уважаемые, приступим к вещанию.

Что такое асимметрия мышц: невыдуманная теория

Думаю, у каждого, читающего эти строки, возникала такая ситуёвина в тренажерном зале, когда делаешь упражнение, например, поочередный подъем гантели на бицепс и вдруг понимаешь, что левая рука уже не фурычит – не тянет вес, а правая может еще спокойно выполнить 2-3 повторения. Знакомо, не так ли? Также, уверен, некоторые из Вас сталкивались с диспропорциями или асимметрией мышц - это когда смотришь на себя в зеркало и понимаешь, что левая грудная больше правой или левый бицепс больше правого. В тренинге это проявляется посредством возникновения ведущей (забирающей нагрузку) и ведомой (отстающей) мышц. В результате всего этого атлет не может полноценно нагрузить мышцы, и всегда та или иная мышечная группа (ее зеркальный аналог) остается недотренированной. По факту при визуальном осмотре своего тельца выясняется, что один мускул обгоняет в развитии своего собрата.

Что делать, т.е. как выйти из сложившейся ситуации – навести баланс и вообще - что такое асимметрия мышц, мы и рассмотрим далее.

Примечание:
Для более лучшего усвоения материала все дальнейшее повествование будет разбито на подглавы.

Мышечный дисбаланс – то, с чем большинство людей сталкиваются в процессе своего тренинга (причем не обязательно именно железного) . Он подразумевает, что сила (и/или размер) мышц на одной стороне тела не является одинаковой/симметричным другой стороне.

В чем проявляется асимметрия мышц

в конкретном виде спорта (например, большой теннис, гольф) , где одна сторона тела задействована больше другой;
когда атлет выполняет однотипные действия снова и снова – это так называемая биомеханическая причина повторных движений в одном направлении или продолжительных поз;
из-за нервно-мышечного дисбаланса в следствии предрасположенности отдельных мышц групп быть сильными или слабыми;
у людей, имеющих конечности разной длины.

Это приведены одни из возможных причин возникновения асимметрии мышц, также сюда вносит существенный вклад кривость позвоночного столба - отклонение параметров от нормы. Посмотрите на физиологические сигналы соответствующие мышечной деятельности (EMG) и карты тепла человеческого тела идеального и стандартного случая.

Подобные снимки помогают врачам выявить у пациентов травмы мягких тканей, дисбаланс в развитии мышц и степень искривления позвоночника.

Стоит сказать, что идеально “ровных” людей нет, и это обусловлено внутриутробным развитием плода. Все мы изначально находимся в положении калачика в утробе матери, и уже там начинает закладываться степень “кривости” нашего позвоночника. Поэтому если Вы думаете, что сколиоз (боковое отклонение позвоночника от нормального выпрямленного положения) – это чисто Ваша фишка, то это не так, он есть практически у всех, только степень его различна.

Итак, с этим разобрались, теперь более детально и научно поговорим о…

Ас имметрия мышц: что, к чему и почему

Движения и функции человека требуют от него баланса длины мышц и силы между противостоящими мышцами, окружающими сустав. Большинство суставов в нашем организме имеют два или более отдельных и противоположных наборов мышц, действующих на него. Мышечное равновесие - это равные суммы противоборствующих сил между мышцами, что необходимо для удержания сосредоточенного (центрированного) положения кости в суставе во время движения. С другой стороны, мышечный дисбаланс имеет место быть, когда противоборствующие мышцы обеспечивают различные направления натяжения в следствие стеснения или слабости.

Чтобы было понятно о чем идет речь, посмотрите на следующие изображения.

Что касается общей асимметрии, то она может быть разной, в частности такой:

передняя и задняя – например, спина отстает от груди;
левая и правая – одна рука/нога больше другой;
верхняя и нижняя часть тела – массивный верх на цыплячьих ножках.

Относительно мышечных групп, то чаще всего асимметрия наблюдается между:

голень и руки;
бицепс и трицепс;
трапеции и плечи;
головки дельт (передняя, средняя, задняя) ;
головки трицепса (латеральная, медиальная, длинная) ;
предплечья и верх руки.

Асимметрия мышц обычно встречается на ранних стадиях тренировок. Как только Вы начинаете выполнять упражнение, мозг производит оценку, какой стороной тела ему проще выполнять задачу. Тело затем устанавливает благоприятный характер движения (заносит к себе в память) , в результате чего прирост силы и объемов происходит неравномерно – наиболее часто используемые районы увеличиваются быстрей. Со временем тонкая грань увеличивается, в результате чего постоянно “вырывающая” нагрузку мышечная группа становится доминирующей (более сильной, выносливой, объемной) . Так возникает асимметрия.

Асимметрия мышц: как предотвратить

Бодибилдинг это не просто мышечная масса – это прежде всего идеальные пропорции и симметрия. Конечно, простым смертным не обязательно становится скульптурой с идеальными формами окружностей, но обзавестись некоторой эстетичностью телосложения было бы не плохо.

Собственно, давайте этим и займемся.

Итак, всего существует два типа движений, которые можно сделать – двусторонние и односторонние. Двусторонние – когда атлет использует две конечности (руки, ноги) одновременно, например, подъем штанги на бицепс. Односторонние – когда используется одна конечность, например, подъем гантели хватом молоток. Иногда мышцы растут больше с одной стороны, нежели с другой, и связано это с доминирующей стороной тела. Ведущая всегда пытается переопределить и сделать всю работу. Если говорить о руках/ногах, то у правшей ведущей является правая, у левшей, соответственно, – левая.

Чтобы навести баланс, т.е. тягать одинаково разными сторонами (и выровнять объемы) необходимо придерживаться следующих советов:

№1. Применение односторонних упражнений

Добавьте в свою текущую ПТ больше односторонних упражнений – это позволит изолировать одну сторону тела от другой. Используйте для этих целей гантели, одиночные блочные кабели и любое оборудование, которое поможет сосредоточить внимание на слабой стороне тела. Также по возможности избегайте тренажеров и больше используйте свободные веса.

№2. Баланс повторений

Регулируйте количество повторений в упражнении в соответствии с Вашей слабой стороной. Начинать упражнение необходимо с отстающей части и выполнять до тех пор, пока она (например, слабая левая рука) не откажет, при этом правая еще может выполнять, но подход надо заканчивать. В результате доминирующая сторона будет слегка недотренирована, что позволит отстающей прогрессировать и подтянуться.

№3. Правильная техника и гибкость

Корректная форма выполнения упражнений с учетом анатомических особенностей позволит исправить асимметрию. Предварительный разогрев мышц и заминка/стрейчинг в конце тренировки с уделением особого внимания слабой стороне также поможет в деле борьбы с мышечным дисбалансом.

№4. Укрепление внутренних мышц и связок

Не стоит забывать о связках и внутренних мышцах (глубокого залегания) . Сильные поверхностные мышцы со слабыми связками/слабыми мышцами кора – это как большое здание без прочного фундамента. Используйте такие упражнения, как вращение с гантелью на укрепление ротаторной манжеты, наклоны в стороны со штангой на плечах, поднятие ног и корпуса из положения лежа, планка.

№5. Набирайте больше массы

Чем больше мышечная масса атлета, тем менее визуально заметны диспропорции и асимметрия, т.е. различия нивелируются. Поэтому старайтесь набрать больше сухой мышечной массы.

№6. Увеличение силы слабой стороны

При выполнении упражнений старайтесь сознательно возлагать большую нагрузку на отстающие мышцы, как бы подтягивая их к доминирующим. Так, например, при асимметрии грудных можно выполнять жим с разным весом по сторонам, больший, 3-5%, на отстающую. Например, у Вас левая грудная больше правой, в таком случае накидываем слева 50 кг, а справа – 52 кг и жмем в таком режиме. С гантелями можно поступать также. Касательно асимметрии бицепса, можно поступить так. Во время подъема штанги на бицепс сдвинуть руку с меньшей двуглавой мышцей ближе к центру грифа, а другую оставить на месте.

Асимметрия мышц: программа тренировок

Основное правило, которое нужно запомнить для устранения мышечного дисбаланса, это то, что, прорабатывая следующие мышечные группы, необходимо тренировать также и их антагонисты (причем не обязательно на той же тренировке) . Вот список таких групп мышц:

грудные и спина;
пресс и разгибатели позвоночника;
бицепс и трицепс;
квадрицепс и мышцы задней поверхности бедра;
икры и большеберцовые мышцы.

Убедитесь, что Ваша текущая ПТ дает мышцам-антагонистам равную долю тренировочной нагрузки. Так Вы наведете баланс и построите гармонично развитое тело.

Кроме того, понимание вопросов и их кинезиологии (функций и движений) поможет грамотно подбирать упражнения и встраивать их в свои тренировочные дни. В качестве примера возьмем , который помимо грудных воздействует и на передние дельты, также подключаются трицепсы. И так во многих других упражнениях – опосредованно нагружаются непрофильные мышцы. В данном случае (при жиме) выпадают задние дельты. Поэтому в дни отдельной тренировки плеч надо прорабатывать задние пучки (как недополучающие нагрузки в основных упражнениях в течение недели) , а не “долбить” передние и средние головки.

Теперь давайте рассмотрим конкретные подпрограммы, направленные на устранение мышечного дисбаланса.

ПТ №1. Убираем асимметрию грудных

Суперсет:

жим штанги под углом вверх, 4 сета, 8-12 повторений;
жим гантели одной рукой, 4 сета, 8-12 повторений.

Суперсет:

отжимания на брусьях, 3 сета, 8-12 повторений;
разведения гантели одной рукой, 3 сета, 8-12 повторений.

ПТ №2. Убираем асимметрию дельт

Суперсет:

отведение одной руки на нижнем блоке, 3 сета, 12-15 повторений;
протяжка штанги к груди, 3 сета, 8-12 повторений.

Суперсет:

разведение гантелей в наклоне, 3 сета, 10-12 повторений.;
жим гантелей стоя вверх 3 сета, 12-15 повторений.

Примечание:
Между сетами 1 минута отдыха и вскоре Вы сможете наблюдать картину роста отстающих районов.

В общем и целом, чтобы избежать асимметрии (превентивные меры), необходимо использовать специальный тип тренинга - сбалансированная . Это такая ПТ, которая одновременно фокусируется на нескольких мышечных группах.

Выглядеть она может так:

приседания со штангой на плечах, 3х12/10/8 ;
жим гантелей лежа на горизонтальной скамье, 3х12/10/8 ;
тяга нижнего блока к корпусу, 3х12 ;
подтягивания, 2 подхода до отказа;
отжимания, 2 подхода до отказа;
сгибание ног в тренажере, 3x15/10/15 ;
скручивания корпуса на фитболе, 2x25 ;
велосипед, 3x30 сек.

Такую программу стоит периодически прокручивать (два раза в неделю, через каждые 2-3 месяца) , тогда у Вас точно не будет никакой асимметрии мышц.

Ну вот, пожалуй, и все, о чем хотелось бы доложиться, осталось подвести итоги и подосвиданькаться:).

Послесловие

Сегодня мы разбирали вопросы асимметрии мышц. Теперь Вы будете максимально ровными и пропорциональными, а значит и смотреться будете эффектнее.

Как то-так, рад был писать для Вас, до новых встреч!

PS. А у Вас все одинаково или немного косите?

PPS. Помог проект? Тогда оставьте ссылку на него в статусе своей социальной сети - плюс 100 очков к карме, гарантированно.

С уважением и признательностью, Протасов Дмитрий .

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! Стоп. Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

Ну конечно, каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения и посвящена лежащая перед вами книга.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех цор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны продорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. (К сходству или подобию мы еще вернемся через несколько страниц.) Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

БЕЗУКОРИЗНЕННАЯ СИММЕТРИЯ СКУЧНА

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина - левой.

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Лишь изредка женщина обладает достаточной смелостью, чтобы надеть по-настоящему асимметричное платье (насколько сильные отклонения от симметрии допустимы, мы увидим дальше).

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор - слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди, нередко подчеркнутый еще и платочком. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты. Знаменитый автопортрет Альбрехта Дюрера на первый взгляд кажется абсолютно симметричным. Но, приглядевшись внимательней, вы заметите маленькую асимметричную деталь, которая и сообщает картине живость и жизненность: прядку волос возле пробора.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). А в наши дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

ЧТО ТАКОЕ ПОДОБИЕ?

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга. Дети обычно похожи на своих родителей (во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы!

Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные.

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче такого рода:

Высота башни А 10 м. На некотором расстоянии X от нее находится шестиметровая башня В. Если провести прямые от подножия и от вершины башни А через вершину башни В, то они встретятся соответственно с подножием и вершиной башни С, имеющей высоту 15м. Каково расстояние от башни А до башни В?

Казалось бы, для решения достаточно взять в руки циркуль и линейку. Но тут же выяснится, что ответов будет бесконечное множество. Иными словами, на вопрос о значении X не может быть однозначного ответа.

В этой книге вы нередко будете сталкиваться с задачами, требующими размышлений. В этом есть определенный педагогический смысл. Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед которыми пасует знаменитый «здравый смысл», и лишь строго математическое логическое мышление вкупе с естественнонаучным познанием способно привести к правильному решению.

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. Поэтому могут быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и размеры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают.

Поразительный пример подобия - глазомерная оценка расстояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на местности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят открытым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир.

При визировании с помощью большого пальца вытянутой руки (один раз левым глазом, а другой - правым) палец "отскакивает" примерно на 6°

Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градусном выражении это расстояние составляет 6°. И притом величина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметрового роста, и самый маленький - левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти «прыжки» пальца, получат одну и ту же величину.

Причина этого явления в конечном счете кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение.

Известно и «правило кулака» - в самом прямом смысле этого слова - для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10°, а расстояние между двумя косточками фаланг 3°. Кулак и оттопыренный в сторону большой палец составят 15°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности.

И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между большим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°. Это кажется маловероятным, но вы можете тотчас проверить все сами, приложив растопыренные пальцы ладони к углу нашей книги. Положите мизинец строго параллельно одному краю и двигайте руку вдоль него вниз, пока большой палец также не ляжет на нижний край. Убедились?

Конечно, здесь ошибка порой оказывается сравнительно большой, так как в зависимости от возраста и разработанности кисти большой палец может отставляться на различные расстояния. Но для первого испытания, позволяющего решить, существенно ли отклоняется измеряемый угол от прямого, такой метод вполне пригоден.

ЛАЙНЛАНДИЯ И ФЛАТЛАНДИЯ

Люди, наделенные воображением, уже давно обратили внимание на то, что законы конгруэнтности, столь строгие для двумерного пространства, при применении на практике нередко требуют использования третьего измерения.

Когда сервируют стол к парадному приему гостей, салфетки обычно складывают треугольником. Но стоит собрать эти треугольники в стопку, один на другой, как обнаруживается, что треугольников этих два вида: одни сразу же «подходят» друг к другу, а другие приходится перевернуть «на правильную сторону». Аналогичная проблема возникает и при штамповке мелких деталей, когда кто-нибудь пытается сложить готовую продукцию в штабеля.

Поэтам и писателям свойственно фантазировать вокруг более или менее вероятных ситуаций. Так, существуют произведения, в которых рисуется жизнь в двумерном пространстве (где «салфетку» никак не перевернешь).

Некоторые авторы идут еще дальше и пробуют представить себе жизнь в одномерном пространстве, в Стране Прямой - Лайнландии. Лайнландия населена лишь тоненькими деревянными палочками, которые в простейшем случае ничем друг от друга не отличаются. Однако стоит придать им головки (сразу вспоминаются спички!), и у них тут же появляются две возможности.

Либо все спички обращены головками в одну сторону - тогда их совмещение не вызывает сложностей. Либо часть спичек лежит головками налево, а часть - головками направо. Математик из Лайнландии не имеет практической возможности перевести «левые» спички в «правые». Но математик из Страны Плоскости - Флатландии, который располагает еще одним измерением, сразу найдет простое решение: повернет спичку в плоскости.

Однако, по мнению некоторых писателей, жизнь и во Флатландии не так-то проста. Представим себе, что жители этой страны маленькие прямоугольники с глазом (а глаз у них только один) в одном из углов. Видеть такой прямоугольник может, конечно, только в плоскости, и ему никогда не удается взглянуть на эту плоскость сверху. Так что ни один флатландец никогда не сможет представить себе, как на самом деле он выглядит: для этого уже необходим взгляд из трехмерного пространства. Домики у флатландцев были бы примерно такими, как на детских рисунках. С той разницей, что двери находились бы сбоку и открывались бы только в этой же плоскости. Но вот дверные петли пришлось бы делать вне плоскости, выше или ниже ее. Кроме того, понадобилась бы сложная система подпорок, чтобы стена домика не рухнула, когда его обитатели захотели бы открыть дверь. А двое флатландцев смогли бы взглянуть друг на друга лишь в том случае, если бы одному из них удалось встать на голову.

Положение усложнилось бы еще больше, если бы Флатландию населяли два народца. Скажем, лево- и правосторонние флатландцы. Требуется большое воображение, чтобы живописать все возможные последствия такой ситуации, особенно если учесть, что мы-то привыкли мыслить в трех измерениях!

Поскольку и Лайнландия, и Флатландия представлялись писателям в юмористическом свете, не приходится удивляться, что литература на эту тему возникла в Англии.

В 1880г. английский педагог Эдвин Эбони Эбботт написал книгу о Флатландии и ее жителях (Эбботт Э. Э. Флатландия. В кн.: Эбботт Э. Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. -М.: Мир, 1976 ). Флатландец Эбботта, попав во сне в Лайнландию, тщетно пытается убедить тамошних обитателей в существовании плоскости.

По ходу действия одному из флатландцев удается познать трехмерное пространство, за что его признают «безумнейшим из безумных».

Через двадцать с лишним лет, в 1907 г., Ч. Г. Хинтон опубликовал роман «Случай во Флатландии». В нем два флатландских народца ведут войну. Поскольку все флатландцы обращены лицом в одну сторону, один из народцев всегда в безнадежном проигрыше: он не может повернуться и нанести ответный удар в нужном направлении - ненавистный враг постоянно сидит у него на шее. Но в конце концов добро побеждает. Какая-то умная голова замечает, что Флатландия расположена на шарике и, значит, можно, обежав вокруг него, зайти врагу в тыл.

Автор романа строит свой рассказ в молчаливом предположении, что флатландцы могут двигаться только по определенным генеральным направлениям, исключающим обход сбоку, а опрокинуть врага через голову для них невозможно.

Как видно, по поводу жизни в двумерном пространстве выдвигались самые изощренные теории, однако они никогда не находили приложения. Надо думать, и эти книги, и их авторы были бы давно позабыты, если бы Лайнландия и Флатландия не были так нужны для пояснения теории зеркального отражения и если бы составителям задач на сообразительность не приходилось все снова и снова обращаться к Флатландии, чтобы извлекать идеи из ее двумерия (кстати, не так давно в Венгрии был создан мультфильм о путешествии школьника Адоляра во Флатландию).

В числе прочего флатландцы перевозят грузы, накатывая платформы на круги. Всякий раз, когда груз минует круг, тамошний транспортный служащий перекатывает этот круг вперед и ставит перед платформой.

Здесь возникает множество любопытных задач. Но нас интересует только одна: если ось колеса движется со скоростью 10 м в минуту, с какой скоростью движется груз?

О нашем земном автомобиле мы знаем, что ни одно колесо (точнее, ни одна колесная ось) не может двигаться скорее, чем весь автомобиль. Но у флатландского автомобился колесо не связано жестко с грузом. Подумав, нетрудно сообразить, что груз здесь участвует в двух движениях.

Во-первых, он движется вместе с осью вращения колеса (это так же, как и у автомобиля). А кроме того, груз еще катится по окружности колеса, и при этом со скоростью, тоже равной скорости вращения оси. Следовательно, в целом груз катится с двойной скоростью по отношению к скорости колеса. Разумеется, груз должен двигаться скорее уже потому, что колеса все время остаются позади и их приходится постоянно переставлять вперед.

Некоторые читатели подумают: «Задачка действительно занятная, ну и что из того?»

Однако принцип действия флатландского транспорта находит себе место и в нашей технике. Так, конструктор, проектируя дверь в небольшом помещении (например, у маленького лифта), вынужден отказаться от шарниров. Он делит дверь на две половинки (если, конечно, додумается до такой уловки!), которые ходят параллельно друг перед другом. Одна половинка двери неподвижно скреплена с осью ролика, а вторая двигается по окружности этого ролика. Пока одна половинка сдвигается на половинку ширины двери, другая успевает перебежать всю ширину дверного проема (с удвоенной скоростью).

Не станем смотреть на Флатландию и на писательские фантазии свысока. Предположим, что флатландцы действительно проживают на поверхности шара. Поверхность эта столь велика, что жители могут не заметить ее кривизны. Естественно, они думают, что живут на плоскости, так как шара представить себе не могут: ведь третье измерение им в принципе незнакомо. Поэтому профессора-флатландцы развивают флатландскую математику, которая изучается в школах. Дети там зазубривают, например, такое определение: две параллельные прямые пересекаются на конечном расстоянии. Или: сумма углов треугольника превышает 180°. Мы же, люди трехмерного пространства, знаем, что шаровая поверхность представляет собой двумерное неевклидово пространство, которое не укладывается в привычную евклидову геометрию.

Посмотрев на глобус, мы видим, что два меридиана, параллельные у экватора, на полюсе пересекаются. Глядя на глобус, можно убедиться и в том, что два меридиана образуют с экватором угол 90°. У точки пересечения на полюсе возникает еще один угол. И сумма всех трех углов в любом случае больше 180°. Но бедные флатландцы, конечно, не могут и предположить всего этого. Они-то уверены, что живут на плоскости.

Один скептически настроенный математик, Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), всерьез задумался над тем, не в положении ли флатландцев находимся и мы, люди. Возможно, думал Гаусс, мы тоже живем в неевклидовом мире, но только не замечаем этого. Если бы это было так, пространство было бы искривлено (чего бы мы, конечно, не могли себе представить), и у достаточно большого треугольника сумма углов отличалась бы от 180°. Гаусс измерил треугольник между Брокеном, Инзельбергом и Высоким Хагеном, но не нашел существенного отклонения от 180°. Это, конечно, не могло служить бесспорным доказательством, так как треугольник все равно мог оказаться слишком мал.

Впрочем, нельзя просто так сравнивать неевклидово пространство, о котором шла речь, с пространством в теории относительности. Мы с вами, флатландцы и Гаусс ведем речь о чисто геометрической, пространственной проблеме и о том, справедливы ли определенные аксиомы (к примеру, о пересечении двух параллельных прямых в бесконечности). Приверженцы теории относительности в качестве четвертой пространственной координаты вводят время.

О КОНГРУЭНТНОСТИ

Две плоские фигуры конгуэнтны, если у них все углы и отрезки прямых между соответствующими точками равны.

В школе мы изучаем теоремы о конгуэнтно-сти треугольников. Установлено, например, что площади треугольников равны, если у них одна сторона и прилежащие к ней два угла совпадают. Это означает, что, хотя для построения треугольников можно использовать сторону и два прилежащих к ней угла, совпадать треугольники должны всеми своими частями.

В разговорной речи (которой мы и пользуемся в этой книге) можно сказать, что конгруэнтные плоскости точно накладываются друг на друга или, наоборот, если одна плоская фигура точно наложима на другую, то они конгруэнтны. То же самое справедливо и для трехмерных тел: если их можно совместить, то они конгруэнтны.

Посмотрите на треугольники, изображенные на рисунке. Все они конгруэнтны. Очевидно, что оба треугольника, помещенные слева, совместятся, если их попросту передвинуть. А вот треугольник, помещенный справа, хотя и конгруэнтен с двумя левыми, но совместить его с ними только передвижением в плоскости мы не сможем. Как бы мы ни вертели его в плоскости, он никогда не совместится ни с одним из левых треугольников. Чтобы достичь этого, нужно приподнять треугольник над плоскостью, повернуть его в пространстве и снова положить на плоскость. Но если мы сравним взаимное расположение треугольников, совмещенных путем сдвига и перевертывания, то увидим, что в обоих случаях совпадают их разные стороны. При сдвиге нижняя поверхность одного бумажного треугольника накладывается на верхнюю поверхность второго треугольника. Пространственная ориентировка поверхности бумажного листа не изменилась. В этом случае говорят о тождественной конгруэнтности. Если при повороте в пространстве совмещаются обе верхние поверхности бумаги, плоские фигуры называются зеркально-конгруэнтными.

Конгруэнтными называются плоские фигуры, которые мы воспринимаем как равные и которые можно совместить друг с другом путем сдвига в плоскости или поворота в пространстве.

КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Конгруэнтность - свойство геометрических плоских фигур совпадать между собой по величине и по форме.

Тождественно-конгруэнтными являются фигуры, которые можно совместить друг с другом путем поворота и(или) сдвига.

Зеркально-конгруэнтными являются фигуры, для совмещения которых необходима дополнительно операция зеркального отражения.

Существует четыре признака конгруэнтности треугольников. Треугольники конгруэнтны, если:

1) три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого (S, S, S);

2) две стороны и заключенный между ними внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними внутреннему углу другого треугольника (S, W, S);

3) две стороны и противолежащий большей из них внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и противолежащему большей из них углу другого треугольника (S, S, W);

4) сторона и оба прилежащих к ней внутренних угла одного треугольника равны стороне и обоим прилежащим к ней внутренним углам другого треугольниками (W, S, W).

ПОДОБИЕ

Совпадение плоских фигур по форме, но не по величине называется подобием.

Каждому углу одной из фигур соответствует равновеликий угол подобной фигуры.

В подобных фигурах соответственные отрезки пропорциональны.

Путем сдвига, поворота и (или) зеркального отражения можно привести две подобные фигуры в положение гомотетии. В этом положении соответственные стороны обеих фигур параллельны между собой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Пусть плоскость разделена прямой s на две полуплоскости. Если теперь повернуть одну полуплоскость вокруг прямой 5 на 180°, то все точки этой полуплоскости совместятся с точками другой полуплоскости.

Прямая s называется осью симметрии.

Ввиду того что точки на перевернутой полуплоскости находятся в зеркальном положении по отношению к их первоначальному положению, это переворачивание называют также зеркальным отражением. Если нанести на одну полуплоскость линии, указывающие какие-то направления вращения, то после зеркального отражения это направление изменится на противоположное. Следовательно, одна операция зеркального отражения создает зеркально-конгруэнтные фигуры. Две такие операции приводят к тождественно-конгруэнтным фигурам. Они соответствуют сдвигу, или повороту.

РАДИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Радиально-симметричные фигуры могут быть совмещены друг с другом путем вращения вокруг точки S. Эта точка называется центром симметрии.

При вращении соответственные точки фигур совмещаются. Направление вращения не меняется. Фигура, отраженная таким способом, является тождественно-конгруэнтной.

Последующие операции вращения никак не повлияют на тождественность фигур. При угле поворота, равном 180°, говорят о центральной симметрии.

ТРЮК С КУБИКАМИ

Педагоги утверждают, что игра с кубиками развивает пространственное воображение. И вот родители покупают своим отпрыскам ящики с яркими кубиками, оклеенными фрагментами картинок из популярных сказок. Сложив эти кубики нужным образом, вы увидите Красную Шапочку с Серым Волком или Белоснежку с семью гномами.

На самом деле такого рода кубики и головоломки развивают пространственное воображение не только у детей, но и у всех - от мала до велика. Иногда нам доводится складывать куб из различной формы чурбачков.

При ближайшем рассмотрении этих отдельных элементов оказывается, что по меньшей мере два из них имеют одинаковые форму и размеры, но относятся друг к другу как левая и правая перчатки. Создатели головоломок такого рода, очевидно, надеются, что играющие не сразу уловят это различие. Если припомнить, сколько раз мы путали правые и левые перчатки, придется признать, что такие надежды не лишены основания.

Совместить эти элементы практически невозможно. Следует заметить, что, употребляя здесь (или где-то ниже) выражение «практически возможно», мы имеем в виду осуществление подобного задания на практике.

Но ведь существуют еще и математические или физические методы, позволяющие совмещать элементы хотя бы теоретически или по внешним признакам, - это и явится предметом дальнейшего рассмотрения. И поскольку здесь говорилось о совмещении одного элемента с другим, следует особо отметить одно важное обстоятельство. Во Флатландии можно было бы совместить плоские фигуры, вынув их из плоскости и повернув в пространстве. В Лайнландии точно так же понадобилось бы всего одним измерением больше: один поворот в плоскости, и отрезки становятся совместимыми.

Но пространственные постройки мы можем повернуть только в пространстве! А поскольку четвертое измерение, несмотря на все рассуждения Гаусса, для нас закрыто, трудно даже вообразить, как практически (!) можно развернуть наши «кирпичики» где-то, помимо трехмерного пространства, чтобы они совместились друг с другом!

В повседневной жизни нам очень часто приходится решать подобные головоломки (я подчеркиваю: именно решать практически, а не играть!), например при упаковке различных предметов. Или, к примеру, представьте себе радиаторы центрального отопления. У одних из них вентиль для регулировки находится слева, у других - справа. Каким образом соединить несколько радиаторов в одну батарею?

Холодильники, кухонные плиты и другие предметы домашнего обихода обычно исполняются с право- и левосторонним расположением ручек, ключей, кранов. Фантастическая возможность поворота подобных предметов в четвертом измерении очень порадовала бы всех, кто имеет дело с их перевозкой и установкой.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале книги мы назвали человека существом симметричным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреблялся. Однако вы уже, наверное, заметили, что во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...» (Словарь иностранных слов: Изд. 7-е, переработанное. -М.; Русский язык 1980, с. 465 )

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Раз уж мы роемся в справочниках, давайте заглянем в Энциклопедический словарь (Советский энциклопедический словарь - М.: Советская энциклопедия, 1980, с. 1219-1220 ). Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии (кое-что об этом вы еще прочтете в этой книге). Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Итак, надо договориться, о какой именно симметрии пойдет у нас речь. Независимо от характера рассматриваемых предметов основной интерес для нас будет представлять зеркальная симметрия - симметрия левого и правого. Мы увидим, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

ИГРА В ТОЧКИ И ЛИНИИ

Мы еще не ушли от Лайнландии и Флатландии. И на то есть особая причина. Если даже там и нет обитателей, то сами-то прямые и плоскости вполне реальны!

Поразмыслим, как обстоит с симметрией на прямой. С помощью двух спичек мы можем очень просто представить себе два возможных случая. (Некоторые стороны этой ситуации мы уже рассмотрели раньше.) Спички могут лежать головками в одну сторону. Тогда они легко совмещаются. Или же головками (или кончиками) друг к другу. В этом случае на прямой существует точка, в которой зеркало можно поставить таким образом, что наступит кажущееся совмещение спички со своим отражением. Другими словами, на прямой существует центр симметрии. Нам придется представить, что зеркало уместилось в одной точке и в нем отражается половинный отрезок прямой. В математических рассуждениях это вполне возможно.

Плоские фигуры "отражаются" в осях симметрии

При построениях на плоскости наше зеркало может по-прежнему оставаться точкой, а может быть и прямой. Наверное, правильнее сказать в обратном порядке: зеркалом будет служить прямая или точка. Ведь если где-то есть прямая, то на ней возможен точечный центр симметрии.

Зеркальные отражения половинок плоскостей выглядят так же, как и реальные плоскости: путем поворота плоскости вокруг прямой - зеркала - ее можно совместить с отражением, отсюда и возникло выражение «ось симметрии».

Круг имеет бесконечное множество осей симметрии. "Лист клевера" - только одну

Итак, мы знаем теперь, что представляют собой центр симметрии и ось симметрии, а также то, что какой-то предмет (возьмем это нейтральное слово) является симметричным, если одна его половина соотносится с другой, как изображение и его зеркальное отражение.

У круга имеется бесконечное множество осей симметрии, и все они проходят через общий центр симметрии. У других фигур число осей симметрии конечно, но все равно все оси (две их или больше) проходят через центр симметрии. Это значит, что мы можем развернуть фигуру на какой-то определенный угол (максимально на 180°) и она снова ляжет точно на то же место, что и до вращения.

Продолжим свои рассуждения о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

Как ни странно, такая "симметричная" с виду фигура, как параллелограмм, не имеет не только осей симметрии, но и зеркальной симметрии вообще

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо. Это свойство нередко используется в массовых играх и соревнованиях, проводимых телевидением. Играющим предлагается, глядя в зеркало, нарисовать какую-либо несимметричную фигуру, например спираль. А потом еще раз нарисовать «точно такую же» спираль, но уже без зеркала. Сравнение обоих рисунков показывает, что спирали получились разные: одна закручивается слева направо, другая - справа налево.

Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы «навыворот». Латинское N выглядит у них как И, вместо S и Z получается S и Z. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N, S, Z, нет ни одной оси симметрии (равно как и у F, G, J, L, Р, Q и R). Но N, S и Z особенно легко пишутся «наоборот» (Они обладают центром симметрии. - Прим. ред ). У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U, V, W и Y можно разделить пополам про дольной, осью симметрии. Буквы В, С, D, Е, I, К - поперечной осью симметрии. У букв Н, О и X имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Вопрос, почему буквы с продольной осью ведут себя иначе, чем с поперечной, довольно интересен. Возможно, и вы задумаетесь над ним. Причину этого явления мы еще обсудим в дальнейшем.

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем нашим обычным.

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф розначает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

НАШ МИР В ЗЕРКАЛЕ

Из Лайнландии мы вынесли представление о центре симметрии, а из Флатландии - об оси симметрии. В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, соответственно существуют плоскости симметрии. «Зеркало» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно - решить не всегда просто.

Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно вращать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от оригинала, конечно в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии.

Во Флатландии фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в, пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Из этого заключения проистекали ошибки, о последствиях которых мы еще расскажем. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу пло.скостей промежуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения - да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числа π. Если над каждым n-угольником мы воздвигнем n-угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть - по числу граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427-347 до н. э.) открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел.

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников получается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треугольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, наконец, из двадцати правильных треугольников - икосаэдр. И только из четырех, восьми или двадцати одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру - гексаэдр (шестигранник), а из равносторонних пятиугольников - додекаэдр (двенадцатигранник).

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если во Флатландии это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спиральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом. В повседневной жизни это означает, что в кемпинге, прежде чем готовить на походной плитке, надо всегда попробовать, в какую сторону отвинчивается баллон.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

Для правильных многогранников справедливы следующие утверждения:

1. В любом многограннике (в том числе и правильном) сумма всех углов между ребрами, сходящимися в одной вершине, всегда меньше 360°.

2. По теореме Эйлера для выпуклых многогранников

где е - число вершин, ƒ - число граней и k - число ребер.

Гранями правильных многогранников могут быть лишь следующие правильные многоугольники:

3, 4 или 5 равносторонних треугольников с углом 60°. Шесть таких треугольников дают уже 60° Х 6 = 360° и, следовательно, не могут ограничивать многогранный угол.

Три квадрата (90° X 3 = 270°), 3 правильных пятиугольника (108° X 3 = 324°), 3 правильных шестиугольника (120° X 3 = 360°) ограничивают многогранный угол.

Из теоремы Эйлера и формы граней следует, что существует только 5 правильных многогранников:

Таблица пяти правильных многогранников

Формы граней	Число				Платоновы тела
Формы граней	граней в одной вершине	вершин	граней	ребер	Платоновы тела
Равносторонние треугольники	3	4	4	6	Тетраэдр
То же	4	6	8	12	Октаэдр
То же	5	12	20	30	Икосаэдр
Квадраты	3	8	6	12	Гексаэдр (куб)
Правильные пятикгольники	3	20	12	20	Пентагон-додекаэдр

(Любая грань Пентагон-додекаэдра представляет собой пятиугольную фигуру, у которой четыре стороны равны между собой, но отличны от пятой. - Прим. перев )

Предыдущая статья: Сколько грамм водки в 1 промилле Следующая статья: Псалтырь Псалом 1 на русском языке